En caso de que no te hayas enterado, este ha sido un año excelente para el número cero. Todo el mundo esperó con anticipación para ver el efecto cuando los calendarios de las computadoras pasaron de "99" a "00", y legiones de programadores de computadoras pasaron su última noche del milenio (aunque los matemáticos sabemos que eso realmente no sucederá hasta el próximo año). ) en la oficina o de guardia, a la espera de que los lleven a toda prisa a la menor señal de que algo ha salido mal. El año pasado cero fue incluso el tema de una "historia natural" de Robert Kaplan (revisadoaquí). Ahora, cinco meses después, Charles Seife nos ha presentadoZero: la biografía de una idea peligrosa.
Por supuesto, el libro de Seife no es una biografía típica. No hay entrevistas que lo digan todo con el número uno o cualquiera de los otros vecinos del cero en la recta numérica. De hecho, la idea detrás del libro de Seife es casi idéntica a la idea detrás del libro de Kaplan, y hay mucha superposición entre los dos libros, hasta las cubiertas completamente blancas que los adornan. Ambos son libros de matemáticas dirigidos a aficionados, y su objetivo común es contar la historia histórica de las matemáticas a través de los ojos del número cero.
El libro de Seife comienza, por supuesto, en el Capítulo Cero, con una historia de cómo recientemente un error de división por cero en su software de control detuvo el crucero de misiles guiados USS Yorktown. Como relata Seife, "Aunque estaba blindado contra las armas, nadie había pensado en defender elciudad de yorkdesde cero Fue un grave error". Tal vez no sea el drama palpitante de una novela de Tom Clancy, pero es suficiente presagio para lanzar a Seife en un ensayo que comienza con muescas en un hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad y termina con el papel de cero en los agujeros negros y el big bang.
Los capítulos 1-5 cubren gran parte del mismo material que cubre Kaplan en sus primeros once capítulos, y eso es de esperar. Históricamente, el cero comenzó como una necesidad de los sistemas numéricos de valor posicional. Pero antes de que los lectores puedan comprender el valor de un sistema numérico de valor posicional como el que inventaron los babilonios (y la necesidad de marcadores de posición en dicho sistema), primero deben ver los otros sistemas numéricos que se emplearon y cómo el sistema babilónico fue superior. . Este es el tema del Capítulo Uno. La siguiente pregunta es cómo los griegos, a pesar de ser los maestros de casi todas las demás ramas de las matemáticas, pasaron por alto la importancia del cero. Esto lleva a Seife a una discusión sobre la filosofía de los números pitagóricos, las paradojas de Zenón y la cosmología aristotélica. Esto y una larga discusión sobre la historia del calendario que usamos hoy, y cómo está plagado de errores debido a los problemas causados por la ausencia histórica del cero, son el tema del Capítulo dos.
Los capítulos tres, cuatro y cinco cubren el surgimiento de cero desde el este y todos los problemas y avances que implica. El capítulo tres comienza con una discusión sobre la adopción india del sistema numérico de valor posicional de base diez y termina con el uso que hace Fibonacci del sistema hindú-árabe enLiber Abacci. El capítulo cuatro juega con la dualidad entre cero e infinito, algo que Seife hará durante el resto del libro. Comienza con la introducción de la perspectiva de Brunelleschi en 1425, en la que el punto en el infinito se caracteriza como el "cero en el centro de la pintura [que] contiene una infinidad de espacio". Continúa discutiendo la introducción del cero en la geometría de Descartes con su sistema de coordenadas, y el capítulo termina con una discusión de la apuesta de Pascal, donde las propiedades algebraicas del cero y el infinito se usan para calcular el valor esperado de la creencia religiosa y el ateísmo.
El capítulo cinco contiene la discusión de Seife sobre los orígenes del cálculo, nuevamente con especial atención al papel del cero. Comienza con la convergencia de series. Explica que Suiseth supo sumar la serie de términos1/2, 2/4, 3/8, ... , n/2norte(pero no indica cómo se hizo esto). A continuación, aborda la demostración de Oresme de que la serie armónica diverge. Las ideas esenciales detrás del cálculo integral se presentan luego en una discusión de Kepler.Medición de volumen de barriles, pero el ejemplo más complicado que se nos muestra es la aproximación del área de un triángulo por ocho rectángulos. El método de Newton para encontrar tangentes se demuestra trabajando con el ejemplo de encontrar la tangente ay = x2+ x + 1, y se presentan brevemente las controversias entre Newton y Leibniz, L'Hospital y Bernoulli, y Berkeley y toda la comunidad matemática inglesa. El capítulo termina con una breve introducción a los límites, muy bien presentada mostrando cómo resolver la paradoja de Aquiles de Zeno (presentada en un capítulo anterior) con una serie geométrica. (Esto es particularmente refrescante de ver. Es sorprendente cuántos estudiantes de filosofía piensan que nadie ha podido responder a Zeno. Lo único que lamento es que Seife no se tomó el tiempo para mostrar a sus lectores lo fácil que es sumar una fórmula geométrica general. serie.) Toda esta discusión de cálculo ocupa sólo 25 páginas.
Pero los períodos de tiempo cubiertos en los Capítulos 3-5 también fueron tiempos de tremendos cambios filosóficos y culturales en Occidente. Mientras que la filosofía hindú había abrazado el vacío, Aristóteles, y en consecuencia la iglesia, lo había rechazado porque "la naturaleza aborrece el vacío". Seife hace un excelente trabajo al relatar cómo las ideas duales de vacío e infinito dieron forma a los cambios culturales que tuvieron lugar en el Renacimiento. De hecho, la mayor parte del Capítulo Cuatro, tituladoEl Dios Infinito de la Nada, se centra en las luchas entre la iglesia y los científicos del Renacimiento sobre la naturaleza del universo. El modelo heliocéntrico del sistema solar de Copérnico había desterrado el universo (finito) de Aristóteles y la centralidad de la iglesia. Como relata Seife:
Nicolás de Cusa y Nicolás Copérnico descifraron el universo en pocas palabras de Aristóteles y Ptolomeo. La tierra ya no estaba cómodamente instalada en el centro del universo; no había caparazón que contuviera el cosmos. El universo continuó hasta el infinito, salpicado de innumerables mundos, cada uno habitado por criaturas misteriosas. Pero, ¿cómo podría Roma pretender ser la sede de la única Iglesia verdadera si su autoridad no pudiera extenderse a otros sistemas solares? ¿Hubo otros papas en otros planetas?
Seife también presenta bien el intento de Descartes de reconstruir una creencia racional en Dios sobre la base de la comprensión del infinito: "Puesto que tenemos un concepto de un ser perfecto infinito en nuestras mentes,... -debe existir". Pero Descartes también tropezó con el tiempo porque no se atrevió a aceptar el "gemelo del infinito", el vacío. Los experimentos de Pascal con la presión atmosférica, también descritos por Seife, conducirían a eso.
El tema de la dualidad entre el infinito y el cero continúa en el Capítulo Seis. El capítulo comienza con la geometría proyectiva, pero el corazón del capítulo es el sistema numérico complejo y cómo conduce a la esfera de Riemann, donde la naturaleza antípoda del cero y el infinito se presentan como la máxima expresión intuitiva de la dualidad entre el cero y el infinito. El capítulo termina con una discusión de los números cardinales de Cantor e incluye una prueba de la incontabilidad de los números reales y una excelente justificación intuitiva de por qué los números racionales son un conjunto de medida cero.
Los capítulos siete y ocho siguen la historia de la química y la física modernas al rastrear el papel del cero y el infinito en la formulación de varias leyes científicas modernas. La primera parada en el Capítulo Siete (tituladoceros absolutos) es la ley de Charles y el cero absoluto. Luego, a modo de descripción de la termodinámica y la mecánica estadística, la discusión cambia a la cuestión histórica de qué constituía la luz. A partir de aquí, Seife describe la ley de Raleigh-James y los problemas que conducen a la formulación de la mecánica cuántica. Al final del capítulo, Seife ha logrado encajar en el principio de incertidumbre de Heisenberg, la relatividad general, los agujeros negros, los agujeros de gusano y su aplicación al viaje espacial interestelar. En el capítulo ocho, Seife pasa a describir los temas más recientes de la teoría de cuerdas, el big bang y la cuestión de cómo acabará finalmente el universo.
Al igual que Kaplan, Seife no presenta nada que los expertos y ávidos aficionados a la historia de las matemáticas no hayan escuchado antes (aunque sus descripciones de los avances modernos en física pueden ser esclarecedoras para algunos). De hecho, pinceladas amplias como "[l]os egipcios, que habían inventado la geometría, pensaron poco en las matemáticas" están destinadas a alterar algunas plumas. Pero los recién llegados a las matemáticas se verán ilustrados y emocionados por el relato vivificante de Seife. Su prosa es clara y ordenada y sus viñetas en la historia de las matemáticas y la ciencia son informativas, entretenidas y muestran al novato el significado cultural, filosófico y científico de las ideas matemáticas. De hecho, aunque es imposible hacer mucha justicia a nada cuando se cubre toda la historia de las matemáticas en 215 páginas, si ha estado buscando un libro que le brinde a su protegido adolescente una introducción a la historia de las matemáticas (¡y al mundo occidental! ) y se puede consumir en un fin de semana, probablemente sea esto. Sin embargo, tenga cuidado: Seife asume menos madurez matemática, y mucha menos madurez cultural, que Kaplan en su historia del cero, e incluso algo tan elemental como la definición moderna de la derivada se relega a un apéndice. (Otros resultados importantes, como una prueba de que Winston Churchill es una zanahoria e instrucciones para construir una máquina del tiempo a partir de agujeros de gusano, también se dan en los apéndices).
Por supuesto, la verdadera pregunta es si Seife o Kaplan han escrito la historia definitiva del cero matemático. Al final, Seife sigue la historia del cero hacia la física, mientras que Kaplan la sigue hacia la filosofía. Pero ninguno aborda seriamente lo que los matemáticos del siglo XX han hecho con el cero. El hecho es que los matemáticos han mirado a su alrededor y han encontrado ceros por todas partes. Por ejemplo, el requisito axiomático simple que dice que, para cualquiera, tenemos "un + 0 = un" es una de las ideas más poderosas y prevalecientes en las matemáticas de hoy. Esta declaración algebraica básica sobre la naturaleza del cero ciertamente carece de la grandeza de los agujeros de gusano galácticos y la gravedad emocional de un poema de Sylvia Plath, pero el hecho de que los matemáticos -fieles a el ejemplo de Euclides hace miles de años- todavía están escudriñando las ideas de las matemáticas y tratando de descubrir qué es lo más esencial acerca de ellas ciertamente merece más que una mención pasajera.
Andrés Leahy ([correo electrónico protegido]) es Profesor Asistente de Matemáticas en Knox College.